the Q can be simplified as follows-
5 + 5^1 + 5^ 2 + 5 ^ 3........5^55 = 5 + 5 ( 5^55 - 1 )/ ( 5 - 1 )
                                               
                                                       = 5 + ( 5 ^ 56  - 5 )/4 = ( 5 ^ 56 + 15 ) / 4
now by fermats littlle theorem-

                                                          5 ^ 13 - 5 = 13k
                                          
                                                         5 ^ 13 = 13k + 5
raising to power 4-
                                                          5 ^ 52 = (13k + 5) ^ 4 = 13k + 625 = 13k + 1
multiplying both sides by 5 ^ 4-
                                                           5 ^ 56 = 13k + 625  =  13k + 1
now adding 15 both sides-
                                                          5 ^ 56 + 15 = 13k + 16
left side is divisible by 4, 16 is div. by 4, hence 13k is also and so is k.
dividing by 4 we get 4 in place of 16 and the required eqn on left